Cálculo del mcd y la identidad de Bezout

Editado el 11/03/2018:

Casi un año después de su publicación, observo en Google Analytics que este artículo tiene un porcentaje de rebote muy elevado. Tal vez este sea debido a que la mayoría de visitantes estén buscando simplemente un programa que calcule el mcd de dos números y sus coeficientes de Bezout. Si es tu caso, puedes instalar fácilmente el intérprete de Python 2 en tu ordenador, es muy ligero y existe para todas las plataformas. Como alternativa, dispones de intérpretes en línea (1, 2) donde puedes copiar y pegar el código; después deberás modificarlo ligeramente porque los parámetros no serán argumentos pasados a través de la línea de comandos.


He hecho un breve programa en Python que calcula el máximo común divisor (mcd) de dos números pasados como parámetros y sus coeficientes de Bezout. El teorema de Bezout nos dice que dados dos números a y b, cuyo mcd(a, b) = d existen dos números enteros s y t tales que:

a*s + b*t = d

Estos dos números s y t son los llamados coeficientes de Bezout. Este par s y t no tiene por qué ser único, pueden haber otros s y t que cumplan la igualdad. La identidad de Bezout no es una mera curiosidad matemática sino que tiene muchas aplicaciones: desde calcular el inverso de a módulo m, lo que permite resolver ecuaciones de congruencia lineal, hasta resolver ecuaciones diofánticas.

El máximo común divisor se puede calcular a mano como nos enseñaron en la escuela mediante el algoritmo de Euclides. Los coeficientes de Bezout los podemos calcular a mano mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero a la hora de programar es más fácil implementar el siguiente algoritmo explicado en la Wikipedia.

Todos estos valores se calculan mediante la división euclídea y esta impone la condición 0 >= r < |d| Es decir, el resto debe ser mayor o igual a 0 y menor que el valor absoluto del divisor. Como expliqué en un artículo anterior, Python no hace la división euclídea cuando el divisor es negativo, por lo tanto en el código hago una pequeña manipulación al signo del segundo número para obtener los coeficientes de Bezout con los signos correctos.

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

import sys
from sys import argv

old_r = long(argv[1])
r = long(argv[2])
negative = False
s, old_t = 0, 0
old_s, t = 1, 1

if r < 0:
    r = abs(r)
    negative = True

while r > 0:
    q = old_r / r
    #MCD:
    r, old_r = old_r - q * r, r
    #Coeficiente s:
    s, old_s = old_s - q * s, s
    #Coeficiente t:
    t, old_t = old_t - q * t, t

if negative:
    old_t = old_t * -1
    
print "m.c.d. = ", old_r
print "Bezout s = ", old_s
print "Bezout t = ", old_t

Ejemplo de su ejecución desde la terminal:

vic@LESBIAN:~/mates$ ./bezoutYmcd.py 23 -4
m.c.d. =  1
Bezout s =  -1
Bezout t =  -6

Si convertimos este programa en una función tendremos una herramienta útil para calcular el inverso de a módulo m, resolver ecuaciones de congruencia lineal y ecuaciones diofánticas.

2 pensamientos en “Cálculo del mcd y la identidad de Bezout

  1. Pingback: Cómo resolver ecuaciones de congruencia lineal

  2. Pingback: Resolución de ecuaciones diofánticas | Víctor Iglesias

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