Decimales del número e por Taylor

Tanto Jhon von Neumann como Steve Wozniack hicieron el ejercicio de encontrar miles de decimales del número e, en el ENIAC (uno de los primeros ordenadores de propósito general) y en un Apple II, respectivamente. Si personas de tan elevado tamaño intelectual consideraron oportuno hacerlo, ¿quién soy yo para contrariarlos? Así que, salvando las distancias, me he decidido a hacerlo.

El método empleado han sido las series de Taylor. Para el mismo, se requiere calcular el factorial, la siguiente función recursiva lo calcula para el número recibido como parámetro:

function factorial(a) {
  if (a === 0) {
      return 1;
  }else{
      return a * factorial(a - 1);
  }
}

El siguiente código Javascript calcula, a partir del polinomio de Taylor1 de grado 20 en torno al punto a=0, es decir, e1, unos cuantos decimales:

function factorial(a) {
  if (a === 0) {
      return 1;
  }else{
      return a * factorial(a - 1);
  }
}

var e = 1;

for (i = 1; i <= 19; i++) {
   e = e + 1/factorial(i);
}
console.log(e);

El lector puede copiar el código y ejecutarlo en el mismo navegador con el que está leyendo este artículo, presionando F12 y accediendo a la consola:

Decimales de e en Javascript por Taylor

Decimales de e en Javascript por Taylor. Ejecutado en Firefox.

Por culpa del uso de la coma flotante que hace Javascript (ya incluido en el microprocesador), no podemos sacar más decimales, pues el resultado será redondeado al que vemos en la imagen. Para salvar este inconveniente, en PHP existe la librería BC Math, que nos permite trabajar con números de – casi – cualquier tamaño y precisión. Para que después digan que es un lenguaje de juguete… Éste es el código:

<?php

function factorial($a) {
  if ($a === 0) {
      return 1;
  }else{
      return bcmul($a, factorial($a - 1), 3000);
  }
}

$e = '2';

for ($i = 2; $i <= 1000; $i++) {
   $e = bcadd($e, bcdiv('1', factorial($i), 3000), 3000);
}
echo ($e);

Con el que se obtienen 2572 dígitos correctos:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259

Aquí está el link que ejecuta este código:

https://www.victoriglesias.net/e.php

Al seguir el link, el lector con interés en el tema descubrirá que proporciona más decimales, pero, como dije, sólo los primeros 2572 son correctos, pues el error máximo cometido es:

+-0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000695151928186513...

Supongamos que sabemos que e está por debajo de 3, pero no podemos concretar más, el error, por el residuo del teorema de Taylor, sería 3/(i + 1)! No por acotar mejor, por ejemplo 2.8, dejaríamos de obtener menos posiciones a 0 hasta obtener los primeros decimales del error, aunque sí ajustaríamos mejor el margen de error.

Si parece insuficiente y se desea mayor precisión, bastará con incrementar el tope de la variable i del bucle a más de 1000. Eso sí, si nos tomamos este cálculo en serio, sería aconsejable optimizar previamente la función recursiva.

En definitiva, aunque me quedé muy lejos del récord mundial ;-), fue entretenido hacerlo y espero que al lector le parezca interesante también o, por lo menos, curioso.


1 Se llama serie de Maclaurin el caso concreto de Taylor a=0

El futuro es de Javascript

El gran ruido de la invasión en el lado servidor de Javascript empezó en el año 2009 con Node.js: no era el primer proyecto que lo intentaba pero sí el primero que lo lograba, y su logro aportó más que poder disponer del mismo lenguaje en el cliente y en el servidor. Por otro lado, sobre las posibilidades que ofrece actualmente Javascript en el navegador gracias a los compiladores JIT, ya he hablado en otro artículo.

Aunque el creador de Node.js, Ryan Dahl, abandonara su proyecto hace ya años, dejando de lado la web para pasar a proyectos más interesantes de Machine Learning, afirmando que Go es una mejor herramienta para servidores web con gran volumen de carga, creo que la inercia que tiene Javascript a día de hoy, le garantiza el dominio en los próximos años.

Desde luego que Javascript dista de ser un gran lenguaje de programación, pero la historia de la informática está plagada de casos en los que no se impuso lo que técnicamente era mejor, pues pesaron más factores relacionados con el mundo de los negocios. En mi opinión, el impulso que está cogiendo Javascript en los últimos años, hará que la palabra de moda en el personal de recursos humanos sea “Javascript”. Si trabajas en la industria deberías tenerlo en cuenta.

Encuesta stackoverflow 2018

Tecnologías más populares en la encuesta de Stackoverflow del presente año.

Por supuesto, los programadores en lenguajes “tradicionales” del lado servidor, como PHP, Java o Python, van a seguir teniendo trabajo los próximos años, aunque sólo sea, en el peor de los casos, por los millones de líneas de código en producción que alguien va a tener que seguir manteniendo; aunque a día de hoy no creo que se llegue a ese extremo; seguro que -todavía- se desarrollarán proyectos nuevos en estos lenguajes.


Editado el 18/4/2018:

Google Brain ha llevado a Javascript su librería de TensorFlow: TensorFlow.js Es decir, llega a los navegadores, y por lo tanto a los ordenadores, móviles y tablets, el machine learning y las redes neuronales.

Javascript ya no es un lenguaje de juguete

Hace años que Javascript ya no es un lenguaje de juguete con el que manipular con Dios y ayuda el DOM del navegador1 y para muestra un botón, ¡pero qué botón!

Emulador de PC con Javascript

También incorpora una versión reducida del compilador gcc

Se trata de un simulador de PC desarrollado en Javascript que puede ejecutarse perfectamente en tu navagador. Concretamente emula un procesador 486 (sin coprocesador matemático), RTC (reloj interno), puerto serie, disco duro, etc.

Además el emulador no viene solo sino que incorpora un Linux (Kernel 2.6.20) y una versión del compilador GCC que el mismo programador del emulador creó: Tiny C Compiler. Se trata de una versión mucho mucho más ligera y rápida que el compilador original.

El genial autor de esta obra es el francés Fabrice Bellard. Es un su web podéis encontrar otras muestras de su genio.

Desde que en 2008 los navegadores empezaron a incorporar compiladores JIT en vez de interpretar el código Javascript, la velocidad de ejecución dio un enorme salto. A medida que van mejorando (hoy en día son capaces incluso de optimizar código) siguen reduciéndose los tiempos. Esto ha dado más alcance a Javascript, por ejemplo Node.js funciona mediante una implementación en el lado servidor del compilador JIT para Chrome llamado V8.

Eso sí, a pesar de todas las librerías y software que ha crecido entorno a este lenguaje, y a pesar de su evolución, sigue teniendo características que hacen difícil la vida del programador:


1 Posiblemente las dificultades más que ser debidas a carencias de Javascript lo eran por los bugs de los navegadores a la hora de manipular el Document Object Model y a las diferencias entre ellos para implementar su manipulación (o el estándar no era muy concreto o era ignorado donde convenía implementarlo de otra manera, no lo sé). En todo caso, sobre Javascript recaían parte de las culpas con el consiguiente desprestigio.

La diferencia entre getElementById y el dolar de jQuery

Cuando atiendo las preguntas de un programador junior en problemas con su código Javascript me doy cuenta de que muchas son debidas a la confusión entre jQuery y un objeto del DOM. Los que empezamos a tocar Javascript antes de la llegada de librerías como jQuery vemos la diferencia claramente, pero hoy en día, cuando un programador novel se lanza a desarrollar en el lado cliente código Javascript estará usando, como mínimo, una librería como jQuery, por lo que lo raro sería que no confundiera ambos.

Vamos a ver en qué consiste la confusión. Cuando trabajamos con la librería jQuery podemos pensar que seleccionar un elemento por su ID:

$('#myVideo').....

Es equivalente a como lo hacíamos antes, cuando no existía la librería jQuery:

document.getElementById('myVideo');

Pero realmente es completamente diferente. El segundo devuelve un puntero al elemento DOM seleccionado que nos permite acceder a las propiedades y métodos propios del elemento mientras que el primero, jQuery, nos proporciona una envoltura (wrapper) sobre el elemento seleccionado (o conjunto de elementos ). Esa envoltura proporciona al programador unos elementos (comunes a todos los elementos del DOM) que facilitan su manipulación.

Esto se ve claramente con el tag <video> que incorpora HTML5 y que usaré como ejemplo. Este tag incorpora métodos no comunes a otros elementos como play() y pause(). El siguiente código Javascript funcionará perfectamente si a dicho elemento le ponemos “myVideo” como identificador:

var player = document.getElementById('myVideo');
player.play();

En cambio, el siguiente código todo cuanto hará será imprimir un error en la consola del navegador:

$('#myVideo').play();

Otro ejemplo para clarificar mejor es cuando queremos acceder a los hijos de un elemento del DOM pero disfrutando de los métodos de jQuery. Veamos el siguiente código:

$('div[id^="panel"] ol').each(function () {

Sirve para recorrer todos los hijos <li>, de un tag <ol>, que pertenece a varios elementos div cuyo id empieza por “panel”. Dentro de la función podemos referirnos a cada uno de ellos mediante this, pero el siguiente código sería incorrecto:

$('div[id^="panel"] ol').each(function () {
   this.hide();
}

El método hide lo incopora jQuery, por lo tanto, para poder invocarlo sería:

$(this).hide();

Mientras que para acceder al id sería:

$('div[id^="panel"] ol').each(function () {
   alert(this.id);
   $(this).hide();
}

Tengamos en cuenta además que $ es un alias para la función jQuery, función que nos da acceso a toda la librería jQuery. El dólar es equivalente y más rápido a escribir:

jQuery(this).hide();