Google deja de leer Gmail

Google ha anunciado recientemente que ya no escaneará los emails de los usuarios de Gmail:

Google has decided to follow suit later this year in our free consumer Gmail service. Consumer Gmail content will not be used or scanned for any ads personalization after this change.

Algo que no hacen ni Yahoo ni la compañía más criticada en el pasado reciente por sus prácticas: Microsoft. ¿Qué hubiera pasado si fuera Microsoft la que lee los emails de Hotmail (ahora Outlook)? Probablemente muchos hubieran puesto el grito en el cielo. Pero para Google hay otro rasero.

Cuando hace bastantes años atrás leí que “Don’t be evil” (no seas malvado) es su lema para la conducta interna me llamó la atención leer tantas opiniones favorables a Google, como si fuera fuente de toda virtud. Fui un poco escéptico y pensé que Google, como todas las grandes empresas, tiene como objetivo rendir beneficios a sus accionistas; ni es una ONG ni son las hermanitas de la caridad. El caso es que su estrategia de marketing les funcionó porque durante años todos los usuarios de Gmail hemos estado conformes con que Google escaneé nuestros emails para ofrecernos una publicidad más personalizada. Como bien dice el refrán: más vale caer en gracia que ser gracioso. Google supo desde el principio que no bastaba con tener la mejor tecnología.

Un número real elevado a un complejo

En este tercer y último artículo contesto la pregunta con la que finalizaba el segundo: ¿cómo calcular la exponenciación de un número real a uno complejo?

Si tenemos en cuenta que para cualquier número real, a, se cumple que a = eln(a), por la misma definición de logaritmo, tenemos:

Número real elevado a complejoHasta ahora, en todos los casos que hemos visto, la base era e, y en este artículo hemos generalizado a cualquier base real. Generalizando aun más, para a y b reales1 o complejos, la operación exponenciación, ab , puede calcularse mediante la operación:

Exponenciación generalizada

Si a ∈ ℝ, a > 0


Como anécdota, y desviándome de la temática de estos tres artículos, está el hecho de que a partir de la igualdad a = eln(a) se deduce la derivada de las funciones exponenciales de base a que en el Bachillerato tuvimos que memorizar, pero veamos de dónde viene: Derivada de la función exponencial 1Por la regla de la cadena, tenemos que la función exterior f(x) es ex, mientras que la interior g(x) es ln(a)x, cuya derivada g'(x) = ln(a) pues podemos y debemos ver ln(a) como un número real cualquiera. Por lo tanto, la derivada es:

Derivada de la función exponencial 2La parte derecha de la ecuación es ax pues habíamos establecido que a = eln(a), por lo que finalmente tenemos la receta que nos dieron para memorizar:
Derivada de la función exponencial 3La receta para calcular la integral también la podemos deducir con la la misma igualdad.

Integral de la función exponencial en base a

e elevado a un número complejo

En el artículo anterior vimos qué significa y cómo se soluciona la exponenciación de e a un número complejo imaginario puro.

Dejé pendiente cómo se realizaría el cálculo en el caso de que el número complejo del exponente tuviera también parte real, es decir, si no es un imaginario puro. En el presente artículo doy la respuesta, y ésta es muy sencilla pues resulta que e elevado a un número complejo tiene las mismas propiedades que la exponenciación de cualquier otro tipo de números. Dado el número complejo b + ci tenemos que:

e elevado a b mas ci

En el artículo anterior ya vimos el cálculo de eci. Por lo tanto resulta:

e elevado a b mas ci sin cos

Veamos el caso práctico z = 2 + πi, ez sería:

e elevado a dos mas pi i

Realmente, con un número imaginario puro estamos haciendo lo mismo. En el ejemplo del artículo anterior, la parte real es 0, y por lo tanto sería:

e elevado a pi i

Como curiosidad, acabamos de trabajar con los números más importantes en matemáticas:

  • El cero. Elemento neutro de la suma.
  • El uno. Elemento neutro de la multiplicación.
  • El número imaginario i.
  • π (pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
  • e, el límite de una sucesión:
    Definicion de e

En el anterior artículo vimos la función exponencial en series de Taylor y al ser e = e1, podemos también definir e como el sumatorio de una serie:

e como suma de una serie

E ora, ancora piu’ difficile! (Aunque no mucho más) ¿Cómo hacer el cálculo si la base es cualquier número real en vez de e? Eso lo veremos más adelante.

e elevado a un número imaginario puro

¿Qué significa elevar e a un número complejo? ¡Hasta los autores de Los Simpson lo saben!

Calculan y resuelven eπ*i:

e elevado a pi por i

No por aparecer en Los Simpson es evidente. Siendo b un número natural, sabemos que ab consiste en multiplicar a b veces. También sabemos que cuando b es un entero negativo la definición es otra, es el inverso de ab:

a elevado a menos b

Y que cuando el exponente es un racional, n/b, se trata de la b-enésima raíz de an:

an/b = b√an

Pero ninguna de estas tres definiciones tienen sentido en la exponenciación de e a un número complejo. Para que lo tenga hemos de tener en cuenta las series de Taylor, según las cuales sabemos que:

Taylor e elevado a x

El signo de admiración expresa el factorial. Cuanto más alargamos la serie mayor precisión decimal obtenemos.

En este caso, cuando nos dicen que x es cualquier número, nos lo dicen en un sentido amplio, puede ser también el complejo xi, y por lo tanto:

Taylor e elevado a x por iEsta agrupación final de los pares a la izquierda y los impares a la derecha no es para pasar el rato, pues como por Taylor otra vez sabemos que:

Taylor seno

Y también:

Taylor coseno

Si reemplazamos las infinitas sumas que resultan en el seno y el coseno nos queda la famosa fórmula de Euler:

Formula de EulerPor lo tanto, podemos ver la exponenciación de e a un número complejo z, imaginario puro, ez,como las infinitas sumas que se pueden agrupar entre las que forman el seno y las del coseno. Hay que tener en cuenta que x expresa un ángulo en radianes. Aunque la la circunferencia completa está comprendida entre 0 y 2Π radianes, se puede calcular perfectamente el seno y el coseno de cualquier ángulo x > 2Π pues representa x mod 2Π giros.

Volviendo a la fórmula de Los Simpson, como cos(Π) = -1 y sen(Π) = 0 tenemos:

Calculo de e elevado a pi por iEn un artículo anterior vimos las potencias de la unidad imaginaria y en este hemos visto la exponenciación de e a un número imaginario puro, aquel complejo que sólo tiene parte imaginaria. ¿Qué pasaría si también tuviera parte real, por ejemplo 1 + Πi? Eso lo dejaré para un próximo artículo.