En este tercer y último artículo contesto la pregunta con la que finalizaba el segundo: ¿cómo calcular la exponenciación de un número real a uno complejo?

Si tenemos en cuenta que para cualquier número real, a, se cumple que a = e^ln(a), por la misma definición de logaritmo, tenemos:

Hasta ahora, en todos los casos que hemos visto, la base era e, y en este artículo hemos generalizado a cualquier base real. Generalizando aun más, para a y b reales¹ o complejos, la operación exponenciación, a^b , puede calcularse mediante la operación:

¹ Si a ∈ ℝ, a > 0

Como anécdota, y desviándome de la temática de estos tres artículos, está el hecho de que a partir de la igualdad a = e^ln(a) se deduce la derivada de las funciones exponenciales de base a que en el Bachillerato tuvimos que memorizar, pero veamos de dónde viene: Por la regla de la cadena, tenemos que la función exterior f(x) es e^x, mientras que la interior g(x) es ln(a)x, cuya derivada g'(x) = ln(a) pues podemos y debemos ver ln(a) como un número real cualquiera. Por lo tanto, la derivada es:

La parte derecha de la ecuación es a^x pues habíamos establecido que a = e^ln(a), por lo que finalmente tenemos la receta que nos dieron para memorizar:
La receta para calcular la integral también la podemos deducir con la la misma igualdad.

En el artículo anterior vimos qué significa y cómo se soluciona la exponenciación de e a un número complejo imaginario puro.

Dejé pendiente cómo se realizaría el cálculo en el caso de que el número complejo del exponente tuviera también parte real, es decir, si no es un imaginario puro. En el presente artículo doy la respuesta, y ésta es muy sencilla pues resulta que e elevado a un número complejo tiene las mismas propiedades que la exponenciación de cualquier otro tipo de números. Dado el número complejo b + ci tenemos que:

En el artículo anterior ya vimos el cálculo de e^ci. Por lo tanto resulta:

Veamos el caso práctico z = 2 + πi, e^z sería:

Realmente, con un número imaginario puro estamos haciendo lo mismo. En el ejemplo del artículo anterior, la parte real es 0, y por lo tanto sería:

Como curiosidad, acabamos de trabajar con los números más importantes en matemáticas:

• El cero. Elemento neutro de la suma.
• El uno. Elemento neutro de la multiplicación.
• El número imaginario i.
• π (pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
• e, el límite de una sucesión:
  

En el anterior artículo vimos la función exponencial en series de Taylor y al ser e = e¹, podemos también definir e como el sumatorio de una serie:

E ora, ancora piu’ difficile! (Aunque no mucho más) ¿Cómo hacer el cálculo si la base es cualquier número real en vez de e? Eso lo veremos más adelante.

¿Qué significa elevar e a un número complejo? ¡Hasta los autores de Los Simpson lo saben!

Calculan y resuelven e^π*i:

No por aparecer en Los Simpson es evidente. Siendo b un número natural, sabemos que a^b consiste en multiplicar a b veces. También sabemos que cuando b es un entero negativo la definición es otra, es el inverso de a^b:

Y que cuando el exponente es un racional, n/b, se trata de la b-enésima raíz de aⁿ:

a^n/b = ^b√aⁿ

Pero ninguna de estas tres definiciones tienen sentido en la exponenciación de e a un número complejo. Para que lo tenga hemos de tener en cuenta las series de Taylor, según las cuales sabemos que:

El signo de admiración expresa el factorial. Cuanto más alargamos la serie mayor precisión decimal obtenemos.

En este caso, cuando nos dicen que x es cualquier número, nos lo dicen en un sentido amplio, puede ser también el complejo xi, y por lo tanto:

Esta agrupación final de los pares a la izquierda y los impares a la derecha no es para pasar el rato, pues como por Taylor otra vez sabemos que:

Y también:

Si reemplazamos las infinitas sumas que resultan en el seno y el coseno nos queda la famosa fórmula de Euler:

Por lo tanto, podemos ver la exponenciación de e a un número complejo z, imaginario puro, e^z,como las infinitas sumas que se pueden agrupar entre las que forman el seno y las del coseno. Hay que tener en cuenta que x expresa un ángulo en radianes. Aunque la la circunferencia completa está comprendida entre 0 y 2Π radianes, se puede calcular perfectamente el seno y el coseno de cualquier ángulo x > 2Π pues representa x mod 2Π giros.

Volviendo a la fórmula de Los Simpson, como cos(Π) = -1 y sen(Π) = 0 tenemos:

En un artículo anterior vimos las potencias de la unidad imaginaria y en este hemos visto la exponenciación de e a un número imaginario puro, aquel complejo que sólo tiene parte imaginaria. ¿Qué pasaría si también tuviera parte real, por ejemplo 1 + Πi? Eso lo dejaré para un próximo artículo.