El número imaginario i es aquel que permite resolver, entre otras cosas, la ecuación:

i² = -1

Por lo tanto i = √-1

Podemos ver que sus potencias enteras son:

i⁰ = 1

i¹ = i (= √-1)

i² = -1

i³ = i * i² = i * (-1) = -i

i⁴ = i² * i² = -1 * (-1) = 1

i⁵ = i² * i³ = -1 * (-i) = i

iⁿ = …

Si seguimos la serie vemos que emerge un patrón: 1, i, -1, -i, …

Así como vimos que las congruencias se podían tratar como clases de equivalencia, vemos aquí que las potencias de i se pueden tratar como la clase de equivalencia Z₄

Sabemos que Z₄ = {[0], [1], [2], [3]} es decir, el total de restos posibles de 4 y sabemos una n potencia de i que pertenece a cada clase:

0 = i⁰

1 = i¹

2 = i²

3 = i³

Con todo esta información no habrá potencia que se nos resista. Si queremos calcular i⁵⁴ sólo tendremos que calcular el resto de la división de 54 entre 4, que es 2 y por lo tanto pertenece a la misma clase que i² , por lo que podemos afirmar que i⁵⁴ = i² = -1 También podemos afirmar que i⁵⁴ es congruente con i² La fórmula general es:

iⁿ = i^{4 mod (n)}

Esto también puede enfocarse desde una perspectiva más gráfica. Multiplicar por i es rotar en el plano 90º hacía atrás y multiplicar por -i es avanzar 90º Por más que rotemos siempre acabaremos en uno de los 4 puntos:

El número imaginario i en el plano cartesiano complejo