Las potencias de la unidad imaginaria como clase de equivalencia

El número imaginario i es aquel que permite resolver, entre otras cosas, la ecuación:

i2 = -1

Por lo tanto i = √-1

Podemos ver que sus potencias enteras son:

i0 = 1

i1 = i (= √-1)

i2 = -1

i3 = i * i2 = i * (-1) = -i

i4 = i2 * i2 = -1 * (-1) = 1

i5 = i2 * i3 = -1 * (-i) = i

in = …

Si seguimos la serie vemos que emerge un patrón: 1, i, -1, -i, …

Así como vimos que las congruencias se podían tratar como clases de equivalencia, vemos aquí que las potencias de i se pueden tratar como la clase de equivalencia Z4

Sabemos que Z4 = {[0], [1], [2], [3]} es decir, el total de restos posibles de 4 y sabemos una n potencia de i que pertenece a cada clase:

0 = i0

1 = i1

2 = i2

3 = i3

Con todo esta información no habrá potencia que se nos resista. Si queremos calcular i54 sólo tendremos que calcular el resto de la división de 54 entre 4, que es 2 y por lo tanto pertenece a la misma clase que i2 , por lo que podemos afirmar que i54 = i2 = -1 También podemos afirmar que i54 es congruente con i2 La fórmula general es:

in = i4 mod (n)

Esto también puede enfocarse desde una perspectiva más gráfica. Multiplicar por i es rotar en el plano 90º hacía atrás y multiplicar por -i es avanzar 90º Por más que rotemos siempre acabaremos en uno de los 4 puntos:

El número imaginario en el plano cartesiano complejo

El número imaginario i en el plano cartesiano complejo

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