En la EGB nos podrían haber explicado mejor las matemáticas, me di cuenta de esto años después, en Bachillerato, y a las malas. Si no es tu caso, me alegro por ti; en el nuestro tuvimos profesores que no tenían claro lo que explicaban, no se trataba de saber mucho (es sólo la EGB) sino de tenerlo muy claro. En mi opinión, en matemáticas es preferible avanzar poco pero con firmeza a avanzar mucho sin solidificar las bases, lo que conduce más pronto que tarde al desmoronamiento de lo que creíamos saber.

A continuación, expondré cómo me parece que hubiera sido mejor que explicaran algunos aspectos. Si eres profesor, espero que te pueda servir mi opinión (puedes dejarme la tuya en los comentarios); si eres alumno de la educación obligatoria, tal vez esto puedo ayudarte a clarificar algunos conceptos.

Los miembros de una ecuación no «pasan» al otro lado

Recuerdo que el profesor usaba expresiones como:

• x pasa a dividir (o a multiplicar) al otro lado.
• Tal número pasa a restar (o a sumar) al otro lado.

Como ejemplo de los errores a los que puede conducir pensar así, veamos la ecuación de la división entera, donde D es el dividendo, d el divisor, q el cociente y r, r≥0, el residuo:

D = d*q + r

Si pensamos que D «pasa a dividir al otro lado», como el lado izquierdo de la igualdad queda vacío, podemos creer que esto es correcto:

0 = (d*q + r) / D

Si nos hubieran enseñado que, como ambos lados de la ecuación son iguales, la igualdad se mantendrá si operamos igual en ambos lados, pensaremos que vamos a dividir a ambos lados por D, con lo que llegaremos a una igualdad correcta:

D/D = (d*q + r) / D  → 1 = (d*q + r) / D

Segmentar la resolución de una ecuación

Otra zancadilla en nuestro aprendizaje nos la daba un profesor que usaba el punto y coma «;» para separar cada paso que ejecutaba para resolver la ecuación. Arrastré la coletilla hasta que en el Bachillerato, un compañero me preguntó por qué usaba un punto y coma en vez del signo igual. Tal vez sería más pedagógico usar el símbolo «implica que»:

x² -9 = 0 ; x² = 9 ; x = √3; x = ±3

x² -9 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = √3 ⇒ x = ±3

Lo que implica la igualdad

Deberían habernos dejado bien claro, incluso diría que machacado, que el hecho de que los dos lados de la ecuación sean iguales implica que seguirán siéndolo si se realiza la misma operación en ambos lados: elevar al cuadrado, al cubo, raíz cuadrada a ambos lados, etc. Cuando llega el momento, no está de más explicar que operaciones como las raíces pueden tener la limitación x ≥ 0 cuando operamos ecuaciones que las contienen, por ejemplo:

Estas condiciones son frecuentes en matemáticas: aparecen en los logaritmos y, pasada la educación obligatoria, vuelven a aparecer en el cálculo de límites, en las integrales, etc.

Potencia con exponente

En matemáticas se tiende a obviar los paréntesis que no son imprescindibles, esto nos puede inducir a creer que la siguiente igualdad es cierta, cuando no lo es:

En este caso, por la prioridad de los operadores, primero debe calcularse 3⁴, 81, para finalmente operar 2⁸¹. En cambio, mediante los paréntesis podemos indicar que la base no es 2 sino 2³, es decir, la potencia de una potencia:

Simplificaciones incorrectas

En el trabajo de una expresión matemática nunca puede irse en «piloto automático» sino que hay que tener muy claro en cada paso lo que se está haciendo. Esto es fundamental en el aprendizaje de las matemáticas.

Consecuencia del ejemplo anterior con la raíz, la siguiente simplificación, en algunas circunstancias, es falsa:

√x² ≠ x

La correcta es:

√x²= |x|

Cuando nos dan la fórmula de la ecuación de segundo grado, aparece el ± acompañando la raíz del radicando. Pues bien, cuando unas clases más adelante se explica que un elemento al cuadrado dentro de una raíz se simplifica, se debería dejar muy claro que, por convención, √x hace referencia a la solución positiva, mientras que -√x se refiere a la negativa. Por ejemplo:

√9 = 3

-√9 = -3

En el caso del cuadrado dentro de la raíz, sería:

√3² = 3

No obstante, en el caso de la raíz positiva, se produce una ambigüedad que se solventa mediante el empleo del valor absoluto. Esta ambigüedad surge porque se obtienen resultados diferentes dependiendo de si se elimina primero la raíz o se calcula primero la potencia:

Gracias al valor absoluto, se aclara que sólo se hace referencia la solución positiva, √ en vez de -√. Como anécdota, decir que obviar esto conduce a una demostración según la cual 2 + 2 = 5.

Esta otra trampa de simplificación es algo más sutil, partiendo del hecho que:

Es decir, el resultado no es x³, podemos caer en el siguiente error:

La no igualdad sólo se convertiría en igualdad para los casos x > 0. Ahora bien, si sí o sí es necesario sacar la x del numerador, esta simplificación también es correcta:

Y, efectivamente:

Por si habían dudas

La proporcionalidad

Acerca de las fracciones nos enseñaron prácticamente todo, pero viéndolo desde la distancia, me parece que se pasó a la ligera por el hecho de que el cociente entre dos magnitudes expresa cuánto de la magnitud del numerador corresponde a cada unidad de la magnitud del denominador. Después, en el Bachillerato, esto aparece de forma masiva en asignaturas como Química y Física:

• F/m: La aceleración es la fuerza que actúa por unidad de masa.
• F/q: La intensidad del campo eléctrico es la fuerza que actúa por unidad de carga eléctrica.
• d = m/V: La densidad es la masa de un objeto por unidad de volumen.

En el cotidiano acto de la compra tenían nuestros profesores un buen ejemplo, si por ejemplo un cartel anuncia que la malla de 6 Kg de naranjas cuesta 3’84€ y queremos saber cuánto cuesta el kilogramo, tendremos que poner el precio en el numerador y el peso en el denominador, pues deseamos conocer el precio en función del peso.

Aunque el ejemplo de la compra pueda parecer muy básico, el mismo concepto, la proporcionalidad, permite hallar la solución a problemas aparentemente más complejos, como el siguiente que nos servirá a modo de ejemplo. Tenemos un tramo de fibra óptica de 300 metros por el que se desplaza un haz de luz (línea negra), «rebotando» por reflexión total interna.

Esquema del tramo de fibra óptica

Si sólo sabemos el valor de ϴ_c como la luz no se desplaza en línea recta sino en zigzag, aparentemente no podemos calcular la distancia real que recorre la luz, pero gracias a la proporcionalidad directa y algo de trigonometría podemos encontrar solución.

El seno de un ángulo es el cateto opuesto entre la hipotenusa

Vemos que existe una proporcionalidad directa entre X y L, pues sen(ϴ_c) es una constante. Es decir, si en 300 metros caben n segmentos X, habrá el mismo número de segmentos L, n ∈ ℝ⁺. Como: Si llamamos e a la distancia real recorrida por luz, sabemos que la siguiente igualdad, que nos permite calcular la distancia realmente recorrida en zigzag, es cierta:

En definitiva, creo que una mayor dedicación y rigurosidad en la exposición de los conceptos básicos nos hubiera ayudado a aposentar los cimientos de las matemáticas; una asignatura difícil, incluso para enseñarla.