En un artículo anterior acerca del producto escalar, se explicó detalladamente cómo se define matemáticamente esta operación. En la presente entrada se explicará qué representa realmente esta operación entre dos vectores, la noción «intuitiva» del mismo; algo imprescindible para entender qué estamos calculando realmente en otras ciencias (por ejemplo física) cuando es empleado.

Dados dos vectores, desde un punto de vista estrictamente matemático podríamos definir infinitas operaciones con ellos, por ejemplo el «producto payaso» de los vectores de n dimensiones u y v, se denota mediante u 🤡 v y se define así:

u 🤡 v = (u₁·v_n·|u|, u₂·v_n-1·|v|, u₃·v_n-2·|u|, …, u_n·v₁·|v|)

Donde las coordenadas impares se multiplican por |u| y las pares por |v|.

Entonces, ¿por qué la operación conocida como producto escalar es importante? Un profesor de matemáticas podría responder a esta pregunta de sus alumnos afirmando que entenderán su importancia en la asignatura de física, donde es muy usado, pues tal vez en matemáticas no tenga un valor especial, pero esta respuesta es un tanto esquiva. La razón por la que es importante en física es precisamente por su interpretación geométrica (ergo matemática), pero esta sistemáticamente se omite, de manera que en física los alumnos deben resignarse a aplicarlo ciegamente.

La explicación a grosso modo no debería rehuirse pues no es ningún concepto especialmente complejo ni requiere de matemáticas «superiores»: el producto escalar de dos vectores, u·v, expresa «cuánto» de u «descansa» en la dirección de v, escalado al tamaño de v. (Esto ya se expresó sucintamente en el artículo anterior) Una vez expuesto esto, resulta mucho más intuitivo entender porqué en física se emplea para:

El trabajo

En la mítica representación del trabajo en Bachillerato:

Sigue leyendo →

El producto escalar es una operación entre dos vectores que retorna un escalar, es decir, un número real. Existen dos definiciones de esta operación que darán el mismo resultado, aunque inicialmente no sea muy intuitivo que así sea: la analítica y la geométrica. Veamos la primera de ellas:

Dados dos vectores del espacio vectorial ℝⁿ, u = (u₁, u₂, …, u_n) y v = (v₁, v₂, …, v_n), se define el producto escalar de ambos, u · v como:

u·v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂ + … + u_n · v_n

En todo espacio vectorial euclídeo, y por lo tanto normado, podemos usar también la definición geométrica, esta nos dice que el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo (o norma) de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forman:

(2)

A continuación, veamos dos ejemplos sencillos en el plano cartesiano, ℝ², para ver que ambas formas arrojan el mismo resultado. Ya nos advirtió Johan Cruyff: «Un palomo no hace verano», por lo que estos dos ejemplos no pretenden demostrar nada sino ejemplificar este concepto poco intuitivo. El primer ejemplo consistirá en los vectores u = (2, 2) y v = (2, -2):

Sigue leyendo →