e elevado a un número imaginario puro

¿Qué significa elevar e a un número complejo? ¡Hasta los autores de Los Simpson lo saben!

Calculan y resuelven eπ*i:

e elevado a pi por i

No por aparecer en Los Simpson es evidente. Siendo b un número natural, sabemos que ab consiste en multiplicar a b veces. También sabemos que cuando b es un entero negativo la definición es otra, es el inverso de ab:

a elevado a menos b

Y que cuando el exponente es un racional, n/b, se trata de la b-enésima raíz de an:

an/b = b√an

Pero ninguna de estas tres definiciones tienen sentido en la exponenciación de e a un número complejo. Para que lo tenga hemos de tener en cuenta las series de Taylor, según las cuales sabemos que:

Taylor e elevado a x

El signo de admiración expresa el factorial. Cuanto más alargamos la serie mayor precisión decimal obtenemos.

En este caso, cuando nos dicen que x es cualquier número, nos lo dicen en un sentido amplio, puede ser también el complejo xi, y por lo tanto:

Taylor e elevado a x por iEsta agrupación final de los pares a la izquierda y los impares a la derecha no es para pasar el rato, pues como por Taylor otra vez sabemos que:

Taylor seno

Y también:

Taylor coseno

Si reemplazamos las infinitas sumas que resultan en el seno y el coseno nos queda la famosa identidad de Euler:

Formula de EulerPor lo tanto, podemos ver la exponenciación de e a un número complejo z, imaginario puro, ez,como las infinitas sumas que se pueden agrupar entre las que forman el seno y las del coseno. Hay que tener en cuenta que x expresa un ángulo en radianes. Aunque la la circunferencia completa está comprendida entre 0 y 2Π radianes, se puede calcular perfectamente el seno y el coseno de cualquier ángulo x > 2Π pues representa x mod 2Π giros.

Volviendo a la fórmula de Los Simpson, como cos(Π) = -1 y sen(Π) = 0 tenemos:

Calculo de e elevado a pi por iEn un artículo anterior vimos las potencias de la unidad imaginaria y en este hemos visto la exponenciación de e a un número imaginario puro, aquel complejo que sólo tiene parte imaginaria. ¿Qué pasaría si también tuviera parte real, por ejemplo 1 + Πi? Eso lo dejaré para un próximo artículo.

5 pensamientos en “e elevado a un número imaginario puro

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