¿Qué significa elevar e a un número complejo? ¡Hasta los autores de Los Simpson lo saben!

Calculan y resuelven e^π*i:

No por aparecer en Los Simpson es evidente. Siendo b un número natural, sabemos que a^b consiste en multiplicar a b veces. También sabemos que cuando b es un entero negativo la definición es otra, es el inverso de a^b:

Y que cuando el exponente es un racional, n/b, se trata de la b-enésima raíz de aⁿ:

a^n/b = ^b√aⁿ

Pero ninguna de estas tres definiciones tienen sentido en la exponenciación de e a un número complejo. Para que lo tenga hemos de tener en cuenta las series de Taylor, según las cuales sabemos que:

El signo de admiración expresa el factorial. Cuanto más alargamos la serie mayor precisión decimal obtenemos.

En este caso, cuando nos dicen que x es cualquier número, nos lo dicen en un sentido amplio, puede ser también el complejo xi, y por lo tanto:

Esta agrupación final de los pares a la izquierda y los impares a la derecha no es para pasar el rato, pues como por Taylor otra vez sabemos que:

Y también:

Si reemplazamos las infinitas sumas que resultan en el seno y el coseno nos queda la famosa fórmula de Euler:

Por lo tanto, podemos ver la exponenciación de e a un número complejo z, imaginario puro, e^z,como las infinitas sumas que se pueden agrupar entre las que forman el seno y las del coseno. Hay que tener en cuenta que x expresa un ángulo en radianes. Aunque la la circunferencia completa está comprendida entre 0 y 2Π radianes, se puede calcular perfectamente el seno y el coseno de cualquier ángulo x > 2Π pues representa x mod 2Π giros.

Volviendo a la fórmula de Los Simpson, como cos(Π) = -1 y sen(Π) = 0 tenemos:

En un artículo anterior vimos las potencias de la unidad imaginaria y en este hemos visto la exponenciación de e a un número imaginario puro, aquel complejo que sólo tiene parte imaginaria. ¿Qué pasaría si también tuviera parte real, por ejemplo 1 + Πi? Eso lo dejaré para un próximo artículo.