Un número real elevado a un complejo

En este tercer y último artículo contesto la pregunta con la que finalizaba el segundo: ¿cómo calcular la exponenciación de un número real a uno complejo?

Si tenemos en cuenta que para cualquier número real, a, se cumple que a = eln(a), por la misma definición de logaritmo, tenemos:

Número real elevado a complejoHasta ahora, en todos los casos que hemos visto, la base era e, y en este artículo hemos generalizado a cualquier base real. Generalizando aun más, la operación exponenciación, ab , para cualquier valor de a y b, puede calcularse mediante la operación:

Exponenciación generalizada


Como anécdota, y desviándome de la temática de estos tres artículos, está el hecho de que a partir de la igualdad a = eln(a) se deduce la derivada de las funciones exponenciales de base a que en el Bachillerato tuvimos que memorizar, pero veamos de dónde viene: Derivada de la función exponencial 1Por la regla de la cadena, tenemos que la función exterior f(x) es ex, mientras que la interior g(x) es ln(a)x, cuya derivada g'(x) = ln(a) pues podemos y debemos ver ln(a) como un número real cualquiera. Por lo tanto, la derivada es:

Derivada de la función exponencial 2La parte derecha de la ecuación es ax pues habíamos establecido que a = eln(a), por lo que finalmente tenemos la receta que nos dieron para memorizar:
Derivada de la función exponencial 3La receta para calcular la integral también la podemos deducir con la la misma igualdad.

Integral de la función exponencial en base a

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