En este tercer y último artículo contesto la pregunta con la que finalizaba el segundo: ¿cómo calcular la exponenciación de un número real a uno complejo?

Si tenemos en cuenta que para cualquier número real, a, se cumple que a = e^ln(a), por la misma definición de logaritmo, tenemos:

Hasta ahora, en todos los casos que hemos visto, la base era e, y en este artículo hemos generalizado a cualquier base real. Generalizando aun más, para a y b reales¹ o complejos, la operación exponenciación, a^b , puede calcularse mediante la operación:

¹ Si a ∈ ℝ, a > 0

Como anécdota, y desviándome de la temática de estos tres artículos, está el hecho de que a partir de la igualdad a = e^ln(a) se deduce la derivada de las funciones exponenciales de base a que en el Bachillerato tuvimos que memorizar, pero veamos de dónde viene: Por la regla de la cadena, tenemos que la función exterior f(x) es e^x, mientras que la interior g(x) es ln(a)x, cuya derivada g'(x) = ln(a) pues podemos y debemos ver ln(a) como un número real cualquiera. Por lo tanto, la derivada es:

La parte derecha de la ecuación es a^x pues habíamos establecido que a = e^ln(a), por lo que finalmente tenemos la receta que nos dieron para memorizar:
La receta para calcular la integral también la podemos deducir con la la misma igualdad.