Zen, matemáticas y la paradoja de Sorites

Montón de arena o duna o n granos de arena

¿Montón de arena? ¿Duna? ¿N granos de arena?

Hace años leí algunos capítulos de un fragmento de un libro Zen escrito en algún momento entre los siglos XVI y XIX, ya no recuerdo, de la escuela Soto o Rinzai, tampoco lo recuerdo, de un autor que, como probablemente habrás adelantado, tampoco recuerdo, pero sí, era japonés. En definitiva, muy Zen todo. Lo que sí recuerdo bien es un símil realizado con la evolución de un fuego recién empezado con unos leños hasta su consumición completa. ¿En qué momento podemos decir que dejaron de haber leños para haber sólo ceniza? Creo que con este ejemplo el autor quería hacer notar las limitaciones que nuestros conceptos mentales tienen para ayudarnos a entender la realidad.

Bastantes años después he caído, navegando por Internet, en la paradoja de Sorites. Esta paradoja entiendo que quiere hacernos caer en la cuenta de algo muy parecido, poniendo como ejemplo no la combustión de un pequeño fuego sino un montón de arena. Sorites es como se pronuncia en griego σωρείτης palabra que significa montón o cúmulo. La paradoja parte del hecho de que estaremos todos de acuerdo en que:

  1. Dos o tres granos de arena no son un montón.
  2. 100.000 o 1.000.000 sí lo son.
  3. Si dos o tres granos de arena – llamemos n a esos dos o tres – no son un montón, tampoco lo serán n+1
  4. Un montón de n granos no dejará de serlo por quitarle uno (n-1)

Mediante inducción matemática se comprueba que la primera y tercera característica niegan la segunda, es decir, que 100.000 granos (ni un millón) forman un montón.

Llamemos a ser un montón tener la propiedad P. La primera característica nos dice que para n = 1 no existe la propiedad P, y que tampoco existe para n = 2 ni para n = 3. La tercera nos dice que dado que Pn no es un montón tampoco lo será Pn+1 = n+1 Tenemos:

  1. ¬P(1)
  2. ¬P(2)
  3. ¬P(n) ⇒ ¬P(n+1)

Supongamos que hay un número mínimo de granos de arena a partir del cual sí se verifica P, llamaremos m a ese número. Tenemos entonces que m-1 no es un montón y a partir de m granos sí lo es. También sabemos por la característica 1 que m > 1 y por la 3 sabemos que m -1 debe cumplir:

P(m-1) ⇒ P(m -1 + 1)

Es decir, que P(m-1) = P(m) y esto es una contradicción pues hemos impuesto que m es el elemento mínimo a partir del cual tenemos la propiedad P (es un montón) y por debajo de m granos no tenemos esa propiedad.

Por el mismo método de la inducción matemática se demuestra a partir de las características segunda y cuarta de un montón que la primera es falsa, es decir, que tan solo dos o tres granos de arena sí son un montón. Incluso que ningún grano también lo es.

Por lo tanto, no sólo conceptos como la belleza o la armonía son difíciles de definir, sino que identificar conceptos que representan objetos físicos como la madera o la ceniza, incluso los medibles como la gordura o la delgadez (peso), o un montón (número de elementos que lo forman) nos pueden resultar evidentes cuando realmente no lo son.

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