El conjunto de los vectores libres del plano ℝ² o del espacio ℝ³, es sólo uno del los muchos objetos matemáticos que pueden formar un espacio vectorial. Este concepto se puede abstraer para englobar no sólo vectores sino también otros objetos como polinomios, funciones o conjuntos de números. En este artículo expondré cómo se realiza esta generalización, en primer lugar para tenerlo yo claro, y en segundo lugar, para ayudar a otros; aunque para este segundo caso debo aclarar al lector que yo no soy matemático y por lo tanto sugiero contrastar lo que aquí expongo con fuentes acreditadas.

En color amarillo está representado el vector (3, 2, 1) y en violeta el (-1, 0, 2).

Los vectores, tanto en el plano como en el espacio, tienen dirección, sentido y módulo. Si lo pensamos, la abstracción del concepto ya empieza simplemente si nos desplazamos a ℝ⁴ , pues, ¿cómo representar en este espacio dichos valores? No podemos, resulta que fuera del plano y el espacio tridimensional donde nos introdujeron los vectores en el Bachillerato, el vector ya es una abstracción. La siguiente definición y propiedades nos permitirá ir más allá de ℝ³, e incluso de los vectores, con rigurosidad:

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, donde se definen las operaciones suma y multiplicación por escalares (número reales), sujetos a estos 10 axiomas:

1. La suma de u y v, u + v, está en V.
2. Conmutativa: u + v = v + u
3. Asociativa de la suma: (u + v) + w = u + (v + w)
4. Elemento neutro de la suma: u + 0 = u
5. Elemento opuesto: Para cada u en V, existe un -u tal que u + (-u) = 0
6. El múltiplo escalar de u por c, cu, está en V.
7. Distributiva I: c(u + v) = cu + cv
8. Distributiva II: (c + d)u = cu + du
9. Asociativa del producto: c(du) = (cd)u
10. Elemento neutro del producto: 1u = u

Estos axiomas deben cumplirse ∀ u, v, w ∈ V, ∀ c, d ∈ ℝ

A continuación, expondré un par de objetos para los que se cumplen todos estos axiomas; veremos también cómo se cumplen los fundamentales, pero no los diez, pues sería excesivamente largo.

Los polinomios

Para n ≥ 0, el conjunto P_n de grado n o menor consiste en todos los polinomios de la forma:

p(t) =  a₀ + a₁t + a₂t + … + a_ntⁿ

Si tenemos otro polinomio:

q(t) =  b₀ + b₁t + b₂t + … + b_ntⁿ

p + q se define mediante:

(p + q)(t) = p(t) + q(t) = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)t + … + (a_n + b_n)tⁿ

El múltiplo por un escalar, cp, es el polinomio definido así:

(cp)(t) = cp(t) = ca₀ + (ca₁)t + (ca₂)t + … + (ca_ntⁿ)

Los axiomas 1 y 6 han sido satisfechos, ya que p + q y cp son polinomios de grado igual o menor que n. Los axiomas 2, 3 y del 7 al 10 son consecuencia de las propiedades de los números reales. El polinomio 0 actúa como elemento neutro de la suma (axioma 4), mientras que el elemento opuesto es (-1)p. Por lo tanto, P_n es un espacio vectorial.

Las funciones reales definidas en un intervalo

Sea V el conjunto de todas las funciones reales definidas en un conjunto D (ya sea un intervalo o todos los números reales). f + g es la función cuyo valor en t en el dominio D es f(t) + g(t). La multiplicación por un escalar cf, f ∈ V, es la función cuyo valor en t es cf(t). Si por ejemplo D = ℝ y tenemos la funciones:

f(t) = cos(t) – 2

g(t) = 1/(t² + 1) + 7

Se cumple que:

(f + g)(t) = cos(t) + 1/(t² + 1) + 5

(2g)(t) = 2/(t² + 1) + 14

Dos funciones en V son iguales si y sólo si sus valores son iguales para toda t en D, por lo que el vector 0 es la función f(t) = 0, para todo t, y (-1)f el elemento opuesto de f. Por lo tanto, como se cumplen los axiomas 1, 6, 4 y 5, y los demás se deducen de las propiedades de los números reales, V es un espacio vectorial.

Intuyo que, en general, los objetos matemáticos que cumplen las condiciones de linealidad pueden constituir espacios vectoriales pues, por ejemplo, son espacios vectoriales el conjunto de las matrices reales de m filas y n columnas, el conjunto de las funciones derivables en un punto y el de las integrables en un intervalo.