En este tercer y último artículo contesto la pregunta con la que finalizaba el segundo: ¿cómo calcular la exponenciación de un número real a uno complejo?

Si tenemos en cuenta que para cualquier número real, a, se cumple que a = e^ln(a), por la misma definición de logaritmo, tenemos:

Hasta ahora, en todos los casos que hemos visto, la base era e, y en este artículo hemos generalizado a cualquier base real. Generalizando aun más, para a y b reales¹ o complejos, la operación exponenciación, a^b , puede calcularse mediante la operación:

¹ Si a ∈ ℝ, a > 0

Como anécdota, y desviándome de la temática de estos tres artículos, está el hecho de que a partir de la igualdad a = e^ln(a) se deduce la derivada de las funciones exponenciales de base a que en el Bachillerato tuvimos que memorizar, pero veamos de dónde viene: Por la regla de la cadena, tenemos que la función exterior f(x) es e^x, mientras que la interior g(x) es ln(a)x, cuya derivada g'(x) = ln(a) pues podemos y debemos ver ln(a) como un número real cualquiera. Por lo tanto, la derivada es:

La parte derecha de la ecuación es a^x pues habíamos establecido que a = e^ln(a), por lo que finalmente tenemos la receta que nos dieron para memorizar:
La receta para calcular la integral también la podemos deducir con la la misma igualdad.

En el artículo anterior vimos qué significa y cómo se soluciona la exponenciación de e a un número complejo imaginario puro.

Dejé pendiente cómo se realizaría el cálculo en el caso de que el número complejo del exponente tuviera también parte real, es decir, si no es un imaginario puro. En el presente artículo doy la respuesta, y ésta es muy sencilla pues resulta que e elevado a un número complejo tiene las mismas propiedades que la exponenciación de cualquier otro tipo de números. Dado el número complejo b + ci tenemos que:

En el artículo anterior ya vimos el cálculo de e^ci. Por lo tanto resulta:

Veamos el caso práctico z = 2 + πi, e^z sería:

Realmente, con un número imaginario puro estamos haciendo lo mismo. En el ejemplo del artículo anterior, la parte real es 0, y por lo tanto sería:

Como curiosidad, acabamos de trabajar con los números más importantes en matemáticas:

• El cero. Elemento neutro de la suma.
• El uno. Elemento neutro de la multiplicación.
• El número imaginario i.
• π (pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
• e, el límite de una sucesión:
  

En el anterior artículo vimos la función exponencial en series de Taylor y al ser e = e¹, podemos también definir e como el sumatorio de una serie:

E ora, ancora piu’ difficile! (Aunque no mucho más) ¿Cómo hacer el cálculo si la base es cualquier número real en vez de e? Eso lo veremos más adelante.