Cuando las matemáticas se explican mal

En la EGB nos podrían haber explicado mejor las matemáticas, me di cuenta de esto años después, en Bachillerato, y a las malas. Si no es tu caso, me alegro por ti; en el nuestro tuvimos profesores que no tenían claro lo que explicaban, no se trataba de saber mucho (es sólo la EGB) sino de tenerlo muy claro. En mi opinión, en matemáticas es preferible avanzar poco pero con firmeza a avanzar mucho sin solidificar las bases, lo que conduce más pronto que tarde al desmoronamiento de lo que creíamos saber.

A continuación, expondré cómo me parece que hubiera sido mejor que explicaran algunos aspectos. Si eres profesor, espero que te pueda servir mi opinión (puedes dejarme la tuya en los comentarios); si eres alumno de la educación obligatoria, tal vez esto puedo ayudarte a clarificar algunos conceptos.

Los miembros de una ecuación no «pasan» al otro lado

Recuerdo que el profesor usaba expresiones como:

  • x pasa a dividir (o a multiplicar) al otro lado.
  • Tal número pasa a restar (o a sumar) al otro lado.

Como ejemplo de los errores a los que puede conducir pensar así, veamos la ecuación de la división entera, donde D es el dividendo, d el divisor, q el cociente y r, r≥0, el residuo:

D = d*q + r

Si pensamos que D «pasa a dividir al otro lado», como el lado izquierdo de la igualdad queda vacío, podemos creer que esto es correcto:

0 = (d*q + r) / D

Si nos hubieran enseñado que, como ambos lados de la ecuación son iguales, la igualdad se mantendrá si operamos igual en ambos lados, pensaremos que vamos a dividir a ambos lados por D, con lo que llegaremos a una igualdad correcta:

D/D = (d*q + r) / D  → 1 = (d*q + r) / D

Segmentar la resolución de una ecuación

Otra zancadilla en nuestro aprendizaje nos la daba un profesor que usaba el punto y coma «;» para separar cada paso que ejecutaba para resolver la ecuación. Arrastré la coletilla hasta que en el Bachillerato, un compañero me preguntó por qué usaba un punto y coma en vez del signo igual. Tal vez sería más pedagógico usar el símbolo «implica que»:

x2 -9 = 0 ; x2 = 9 ; x = √3; x = ±3

x2 -9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = √3 ⇒ x = ±3

Lo que implica la igualdad

Deberían habernos dejado bien claro, incluso diría que machacado, que el hecho de que los dos lados de la ecuación sean iguales implica que seguirán siéndolo si se realiza la misma operación en ambos lados: elevar al cuadrado, al cubo, raíz cuadrada a ambos lados, etc. Cuando llega el momento, no está de más explicar que operaciones como las raíces pueden tener la limitación x ≥ 0 cuando operamos ecuaciones que las contienen, por ejemplo:

Estas condiciones son frecuentes en matemáticas: aparecen en los logaritmos y, pasada la educación obligatoria, vuelven a aparecer en el cálculo de límites, en las integrales, etc.

Potencia con exponente

En matemáticas se tiende a obviar los paréntesis que no son imprescindibles, esto nos puede inducir a creer que la siguiente igualdad es cierta, cuando no lo es:

En este caso, por la prioridad de los operadores, primero debe calcularse 34, 81, para finalmente operar 281. En cambio, mediante los paréntesis podemos indicar que la base no es 2 sino 23, es decir, la potencia de una potencia:

potencia correcta

La proporcionalidad

Acerca de las fracciones nos enseñaron prácticamente todo, pero viéndolo desde la distancia, me parece que se pasó a la ligera por el hecho de que el cociente entre dos magnitudes expresa cuánto de la magnitud del numerador corresponde a cada unidad de la magnitud del denominador. Después, en el Bachillerato, esto aparece de forma masiva en asignaturas como Química y Física:

  • F/m: La aceleración es la fuerza que actúa por unidad de masa.
  • F/q: La intensidad del campo eléctrico es la fuerza que actúa por unidad de carga eléctrica.
  • d = m/V: La densidad es la masa de un objeto por unidad de volumen.

En el cotidiano acto de la compra tenían nuestros profesores un buen ejemplo, si por ejemplo un cartel anuncia que la malla de 6 Kg de naranjas cuesta 3’84€ y queremos saber cuánto cuesta el kilogramo, tendremos que poner el precio en el numerador y el peso en el denominador, pues deseamos conocer el precio en función del peso.

Aunque el ejemplo de la compra pueda parecer muy básico, el mismo concepto, la proporcionalidad, permite hallar la solución a problemas aparentemente más complejos, como el siguiente que nos servirá a modo de ejemplo. Tenemos un tramo de fibra óptica de 300 metros por el que se desplaza un haz de luz (línea negra), «rebotando» por reflexión total interna.

fibra óptica

Esquema del tramo de fibra óptica

Si sólo sabemos el valor de ϴc como la luz no se desplaza en línea recta sino en zigzag, aparentemente no podemos calcular la distancia real que recorre la luz, pero gracias a la proporcionalidad directa y algo de trigonometría podemos encontrar solución.

trigonometria haz de luz

El seno de un ángulo es el cateto opuesto entre la hipotenusa

Vemos que existe una proporcionalidad directa entre X y L, pues sen(ϴc) es una constante. Es decir, si en 300 metros caben n segmentos X, habrá el mismo número de segmentos L, n ∈ ℝ+. Como: Si llamamos e a la distancia real recorrida por luz, sabemos que la siguiente igualdad, que nos permite calcular la distancia realmente recorrida en zigzag, es cierta:

En definitiva, creo que una mayor dedicación y rigurosidad en la exposición de los conceptos básicos nos hubiera ayudado a aposentar los cimientos de las matemáticas; una asignatura difícil, incluso para enseñarla.

Decimales del número e por Taylor

Tanto Jhon von Neumann como Steve Wozniack hicieron el ejercicio de encontrar miles de decimales del número e, en el ENIAC (uno de los primeros ordenadores de propósito general) y en un Apple II, respectivamente. Si personas de tan elevado tamaño intelectual consideraron oportuno hacerlo, ¿quién soy yo para contrariarlos? Así que, salvando las distancias, me he decidido a hacerlo.

El método empleado han sido las series de Taylor. Para el mismo, se requiere calcular el factorial, la siguiente función recursiva lo calcula para el número recibido como parámetro:

function factorial(a) {
  if (a === 0) {
      return 1;
  }else{
      return a * factorial(a - 1);
  }
}

El siguiente código Javascript calcula, a partir del polinomio de Taylor1 de grado 20 en torno al punto a=0, es decir, e1, unos cuantos decimales:

function factorial(a) {
  if (a === 0) {
      return 1;
  }else{
      return a * factorial(a - 1);
  }
}

var e = 1;

for (i = 1; i <= 19; i++) {
   e = e + 1/factorial(i);
}
console.log(e);

El lector puede copiar el código y ejecutarlo en el mismo navegador con el que está leyendo este artículo, presionando F12 y accediendo a la consola:

Decimales de e en Javascript por Taylor

Decimales de e en Javascript por Taylor. Ejecutado en Firefox.

Por culpa del uso de la coma flotante que hace Javascript (ya incluido en el microprocesador), no podemos sacar más decimales, pues el resultado será redondeado al que vemos en la imagen. Para salvar este inconveniente, en PHP existe la librería BC Math, que nos permite trabajar con números de – casi – cualquier tamaño y precisión. Para que después digan que es un lenguaje de juguete… Éste es el código:

<?php

function factorial($a) {
  if ($a === 0) {
      return 1;
  }else{
      return bcmul($a, factorial($a - 1), 3000);
  }
}

$e = '2';

for ($i = 2; $i <= 1000; $i++) {
   $e = bcadd($e, bcdiv('1', factorial($i), 3000), 3000);
}
echo ($e);

Con el que se obtienen 2572 dígitos correctos:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259

Aquí está el link que ejecuta este código:

https://www.victoriglesias.net/e.php

Al seguir el link, el lector con interés en el tema descubrirá que proporciona más decimales, pero, como dije, sólo los primeros 2572 son correctos. Supongamos que sabemos que e está por debajo de 3, pero no podemos concretar más, el error, por el residuo del teorema de Taylor, sería 3/(i + 1)!, es decir:

+-0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000744805637342692...

Por cierto, no por acotar mejor e, por ejemplo 2’8, dejaríamos de obtener menos posiciones a 0 hasta obtener los primeros decimales del error. 2’8/(i + 1)! es:

+-0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000695151928186513...

Por lo tanto, aunque acotemos con más precisión e, la fórmula del residuo nos sigue asegurando que hemos calculado correctamente la misma cantidad de decimales.

Si parecen insuficientes y se desea mayor precisión, bastará con incrementar el tope de la variable i del bucle a más de 1000. Eso sí, si nos tomamos este cálculo en serio, sería aconsejable optimizar previamente la función recursiva.

En definitiva, aunque me quedé muy lejos del récord mundial ;-), fue entretenido hacerlo y espero que al lector le parezca interesante también o, por lo menos, curioso.


1 Se llama serie de Maclaurin el caso concreto de Taylor a=0

¿Por qué lo llaman logaritmo neperiano cuando quieren decir natural?

Normalmente denominamos «neperiano» al logaritmo de base e, pero viendo un vídeo en inglés escuché que se referían al mismo como «natural», entonces me puse a indagar cual de las dos formas es correcta. El resultado fue que «natural» sería más correcto, pero entonces, ¿por qué lo llamamos neperiano? Voy a explicar en esta breve entrada lo que averigüé.

Leyenda de un libro de matemáticas de 3º de BUP

Leyenda de mi libro (I de II) de matemáticas de 3º de BUP

John Napier, un matemático escocés que vivió entre 1550 y 1617, fue el primero en definir los logaritmos. Su trabajo, como era lo usual en la época, lo publicó en latín, y fue otro matemático quien, tiempo después, traduciría la obra al inglés. En una de las ediciones, se incluyó un apéndice con una tabla de logaritmos, y en la misma aparecen algunos valores que se obtienen usando la base 2.718, pero sin hacer ninguna mención en especial a la misma. Esta base, por cierto, no aparece en la obra original de Napier.

Logarithmorum, de John Napier

Las largas noches de invierno en el norte de Europa dan para mucho.

No obstante, en aquel entonces, el número e todavía no había sido formalmente definido. Probablemente, el autor de esta tabla, que se cree que fue William Oughtred, tuvo nociones acerca de e, al igual que otros matemáticos de la época, pero al descubrimiento y su formalización todavía le faltaba entorno a un siglo. En todo caso, si bien a John Napier se le reconoce el mérito del logaritmo como su gran aportación a las matemáticas, no sería justo otorgarle el mérito de uno de los números más importantes.

En definitiva, parece que los anglosajones están más acertados que nosotros a la hora de llamar «natural» al logaritmo en base e y que somos nosotros quienes andamos algo equivocados al otorgarle a John Napier más méritos de los que le corresponden.

Álgebra lineal y sus aplicaciones

Ha llegado a mis manos un libro de matemáticas que merece una mención: Álgebra lineal y sus aplicaciones, de David C. Lay. Se trata de un vasto tratado sobre el álgebra lineal que profundiza en todos los puntos, de manera que no tan sólo es una excelente herramienta para aprender (que además cuenta con una gran cantidad de ejercicios resueltos) sino que también es una excelente obra de consulta.

Aunque suficiente motivo, no es éste el que me impulsa a mencionarlo en este espacio sino el hecho de ser el primer libro de matemáticas de nivel universitario que me encuentro que no usa expresiones como «es evidente que» o «resulta obvio» para eludir dar explicaciones detalladas. En mi opinión, no consultamos libros sobre temas que nos resultan obvios y evidentes; además, me parece que la función de un libro de carácter didáctico es transmitir al lector los conocimientos de su autor, no demostrar cuan por encima de la materia tratada está su capacidad; esto ya se le presupone.

Álgebra lineal y sus aplicaciones 2ª edicion David C. Lay

Esta es la segunda edición que conseguí a través de la biblioteca de la UOC pero ya va por la quinta edición.

David C. Lay, profesor catedrático e investigador de matemáticas, ha hecho una excelente obra para estudiantes de ingeniería, economía y, en general, de cualquier carrera que incluya las matemáticas en su programa.


Editado el 26/12/2017:

Estas navidades mi padre me lo ha regalado ^^  Aparentemente, el principal aporte de la quinta edición es que el 25% de los ejercicios son nuevos o están actualizados, principalmente ejercicios de computación, desaparece el CD (obsoleto) y la tapa es aun más blanda que la de la segunda edición (algo que compromete el futuro de un libro grueso de más de 500 páginas).

Un número real elevado a un complejo

En este tercer y último artículo contesto la pregunta con la que finalizaba el segundo: ¿cómo calcular la exponenciación de un número real a uno complejo?

Si tenemos en cuenta que para cualquier número real, a, se cumple que a = eln(a), por la misma definición de logaritmo, tenemos:

Número real elevado a complejoHasta ahora, en todos los casos que hemos visto, la base era e, y en este artículo hemos generalizado a cualquier base real. Generalizando aun más, para a y b reales1 o complejos, la operación exponenciación, ab , puede calcularse mediante la operación:

Exponenciación generalizada

Si a ∈ ℝ, a > 0


Como anécdota, y desviándome de la temática de estos tres artículos, está el hecho de que a partir de la igualdad a = eln(a) se deduce la derivada de las funciones exponenciales de base a que en el Bachillerato tuvimos que memorizar, pero veamos de dónde viene: Derivada de la función exponencial 1Por la regla de la cadena, tenemos que la función exterior f(x) es ex, mientras que la interior g(x) es ln(a)x, cuya derivada g'(x) = ln(a) pues podemos y debemos ver ln(a) como un número real cualquiera. Por lo tanto, la derivada es:

Derivada de la función exponencial 2La parte derecha de la ecuación es ax pues habíamos establecido que a = eln(a), por lo que finalmente tenemos la receta que nos dieron para memorizar:
Derivada de la función exponencial 3La receta para calcular la integral también la podemos deducir con la la misma igualdad.

Integral de la función exponencial en base a

e elevado a un número complejo

En el artículo anterior vimos qué significa y cómo se soluciona la exponenciación de e a un número complejo imaginario puro.

Dejé pendiente cómo se realizaría el cálculo en el caso de que el número complejo del exponente tuviera también parte real, es decir, si no es un imaginario puro. En el presente artículo doy la respuesta, y ésta es muy sencilla pues resulta que e elevado a un número complejo tiene las mismas propiedades que la exponenciación de cualquier otro tipo de números. Dado el número complejo b + ci tenemos que:

e elevado a b mas ci

En el artículo anterior ya vimos el cálculo de eci. Por lo tanto resulta:

e elevado a b mas ci sin cos

Veamos el caso práctico z = 2 + πi, ez sería:

e elevado a dos mas pi i

Realmente, con un número imaginario puro estamos haciendo lo mismo. En el ejemplo del artículo anterior, la parte real es 0, y por lo tanto sería:

e elevado a pi i

Como curiosidad, acabamos de trabajar con los números más importantes en matemáticas:

  • El cero. Elemento neutro de la suma.
  • El uno. Elemento neutro de la multiplicación.
  • El número imaginario i.
  • π (pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
  • e, el límite de una sucesión:
    Definicion de e

En el anterior artículo vimos la función exponencial en series de Taylor y al ser e = e1, podemos también definir e como el sumatorio de una serie:

e como suma de una serie

E ora, ancora piu’ difficile! (Aunque no mucho más) ¿Cómo hacer el cálculo si la base es cualquier número real en vez de e? Eso lo veremos más adelante.