Es frecuente que a los alumnos se les enseñe que, si una función tiene un asíntota oblicua que viene dada por y = ax + b, los términos a y b se calcularán a partir de dos fórmulas que deben memorizar:
(1)
(2)
Pero, ¿de dónde provienen? Si tenemos poca memoria y/o preferimos entender el porqué de las cosas, algo bastante conveniente en matemáticas, debemos tener en cuenta que, para una x infinitamente grande, por las propiedades de los límites, se cumplirá f(x) – y = 0:
(3)
El conjunto de los vectores libres del plano ℝ2 o del espacio ℝ3, es sólo uno del los muchos objetos matemáticos que pueden formar un espacio vectorial. Este concepto se puede abstraer para englobar no sólo vectores sino también otros objetos como polinomios, funciones o conjuntos de números. En este artículo expondré cómo se realiza esta generalización, en primer lugar para tenerlo yo claro, y en segundo lugar, para ayudar a otros; aunque para este segundo caso debo aclarar al lector que yo no soy matemático y por lo tanto sugiero contrastar lo que aquí expongo con fuentes acreditadas.
En color amarillo está representado el vector (3, 2, 1) y en violeta el (-1, 0, 2).
Los vectores, tanto en el plano como en el espacio, tienen dirección, sentido y módulo. Si lo pensamos, la abstracción del concepto ya empieza simplemente si nos desplazamos a ℝ4 , pues, ¿cómo representar en este espacio dichos valores? No podemos, resulta que fuera del plano y el espacio tridimensional donde nos introdujeron los vectores en el Bachillerato, el vector ya es una abstracción. La siguiente definición y propiedades nos permitirá ir más allá de ℝ3, e incluso de los vectores, con rigurosidad:
Tanto en matemáticas como en informática, las funciones de orden superior son aquellas que cumplen, al menos, una de estas condiciones:
Ejemplos en matemáticas son la derivada y la antiderivada o función primitiva.
El operador diferencial es una función de orden superior
La antiderivada de una función f es una función F tal que F’ = f
En informática son la esencia de los lenguajes funcionales, pero también aparecen en lenguajes de otros paradigmas. Este es un ejemplo en el lenguaje Scheme en el que la función (f x) recibe un argumento y devuelve una función:
(define (f x) (lambda (y) (+ x y))) (display ((f 3) 7))
Puede ejecutarse aquí para ver el resultado.
Cuando nació Javascript, a algunos programadores les pareció un lenguaje orientado a objetos fallido1, sobretodo porque, por razones comerciales, se le puso un nombre que lo asocia con Java. Desconozco si su creador estuvo muy de acuerdo con ese nombre pues, tal y como se diseño este lenguaje, da bastante juego a la programación funcional. En el siguiente ejemplo, el método filter() es una función de orden superior, pues espera recibir una función como parámetro:
function isPrime(x){
if (x === 2) {
return true;
}
let test = x%2 !== 0;
let i = 3;
stop = Math.floor(Math.sqrt(x)); // Raíz entera de x
while (test && i <= stop) {
test = x%i !== 0;
i = i + 2;
}
return test;
}
const numbers = [47, 139, 137, 213, 2, 3, 45, 1515];
const primeNumbers = numbers.filter(isPrime);
console.log(primeNumbers);
Lo que este programa hace es filtrar la formación de números naturales «numbers«, dejando sólo los que sean primos en «primeNumbers«. Cada elemento de «numbers» será evaluado por la función «isPrime» mediante la criba de Eratóstenes. El lector puede ejecutarlo accediendo a la consola del navegador pulsando F12 y modificar el valor de «numbers» con los números (o el número) que quiera saber si son primos o no.
Este tipo de funciones están en prácticamente todos los lenguajes modernos, incluso en los que no se tuvo en cuenta el paradigma funcional en el momento de su creación. Es el caso de PHP, donde podemos encontrar una gran cantidad de funciones que esperan otra función, como es el caso de, por ejemplo, preg_replace_callback()2:
$capitalice = function($coincidencia) {
return strtoupper($coincidencia[1]);
};
echo preg_replace_callback('~-([a-z])~', $capitalice, 'hola-mundo');
Además de usar las implementadas en funciones y métodos propios del lenguaje, también podemos crear las nuestras, de forma parecida a un lenguaje completamente funcional. En Javascript, la Wikipedia nos ofrece el siguiente ejemplo:
const twice = (f, v) => f(f(v)); const add3 = v => v + 3; console.log(twice(add3, 7));
Lo mismo es posible en PHP:
$twice = function($f, $v) {
return $f($f($v));
};
$f = function($v) {
return $v + 3;
};
echo($twice($f, 7));
La programación funcional pretende tratar la programación como la evaluación de funciones matemáticas, paradigma muy diferente a la programación imperativa, basada en estados y en instrucciones que lo cambian. Tal vez las características funcionales que tienen algunos lenguajes puedan ayudarnos a introducirnos en un paradigma, el funcional, que nos exige una forma muy distinta de enfocar los problemas.
1 Todavía hoy en día, y a pesar de los cambios que ha sufrido en los últimos ECMA, sigue despertando las críticas de los programadores que, debido a su nombre, esperan que se comporte como un lenguaje completamente orientado a objetos, como Java, y se dan de bruces contra la realidad.
2 El parámetro que recibe la función contenida en $capitalize son las coincidencias que encuentre la expresión regular.
En la EGB nos podrían haber explicado mejor las matemáticas, me di cuenta de esto años después, en Bachillerato, y a las malas. Si no es tu caso, me alegro por ti; en el nuestro tuvimos profesores que no tenían claro lo que explicaban, no se trataba de saber mucho (es sólo la EGB) sino de tenerlo muy claro. En mi opinión, en matemáticas es preferible avanzar poco pero con firmeza a avanzar mucho sin solidificar las bases, lo que conduce más pronto que tarde al desmoronamiento de lo que creíamos saber.
A continuación, expondré cómo me parece que hubiera sido mejor que explicaran algunos aspectos. Si eres profesor, espero que te pueda servir mi opinión (puedes dejarme la tuya en los comentarios); si eres alumno de la educación obligatoria, tal vez esto puedo ayudarte a clarificar algunos conceptos.
Recuerdo que el profesor usaba expresiones como:
Como ejemplo de los errores a los que puede conducir pensar así, veamos la ecuación de la división entera, donde D es el dividendo, d el divisor, q el cociente y r, r≥0, el residuo:
D = d*q + r
Si pensamos que D «pasa a dividir al otro lado», como el lado izquierdo de la igualdad queda vacío, podemos creer que esto es correcto:
0 = (d*q + r) / D
Si nos hubieran enseñado que, como ambos lados de la ecuación son iguales, la igualdad se mantendrá si operamos igual en ambos lados, pensaremos que vamos a dividir a ambos lados por D, con lo que llegaremos a una igualdad correcta:
D/D = (d*q + r) / D → 1 = (d*q + r) / D
Otra zancadilla en nuestro aprendizaje nos la daba un profesor que usaba el punto y coma «;» para separar cada paso que ejecutaba para resolver la ecuación. Arrastré la coletilla hasta que en el Bachillerato, un compañero me preguntó por qué usaba un punto y coma en vez del signo igual. Tal vez sería más pedagógico usar el símbolo «implica que»:
x2 -9 = 0 ; x2 = 9 ; x = √3; x = ±3
x2 -9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = √3 ⇒ x = ±3
Deberían habernos dejado bien claro, incluso diría que machacado, que el hecho de que los dos lados de la ecuación sean iguales implica que seguirán siéndolo si se realiza la misma operación en ambos lados: elevar al cuadrado, al cubo, raíz cuadrada a ambos lados, etc. Cuando llega el momento, no está de más explicar que operaciones como las raíces pueden tener la limitación x ≥ 0 cuando operamos ecuaciones que las contienen, por ejemplo:
Estas condiciones son frecuentes en matemáticas: aparecen en los logaritmos y, pasada la educación obligatoria, vuelven a aparecer en el cálculo de límites, en las integrales, etc.
En matemáticas se tiende a obviar los paréntesis que no son imprescindibles, esto nos puede inducir a creer que la siguiente igualdad es cierta, cuando no lo es:
En este caso, por la prioridad de los operadores, primero debe calcularse 34, 81, para finalmente operar 281. En cambio, mediante los paréntesis podemos indicar que la base no es 2 sino 23, es decir, la potencia de una potencia:
En el trabajo de una expresión matemática nunca puede irse en «piloto automático» sino que hay que tener muy claro en cada paso lo que se está haciendo. Esto es fundamental en el aprendizaje de las matemáticas.
Consecuencia del ejemplo anterior con la raíz, la siguiente simplificación, en algunas circunstancias, es falsa:
√x² ≠ x
La correcta es:
√x²= |x|
Cuando nos dan la fórmula de la ecuación de segundo grado, aparece el ± acompañando la raíz del radicando. Pues bien, cuando unas clases más adelante se explica que un elemento al cuadrado dentro de una raíz se simplifica, se debería dejar muy claro que, por convención, √x hace referencia a la solución positiva, mientras que -√x se refiere a la negativa. Por ejemplo:
√9 = 3
-√9 = -3
En el caso del cuadrado dentro de la raíz, sería:
√3² = 3
No obstante, en el caso de la raíz positiva, se produce una ambigüedad que se solventa mediante el empleo del valor absoluto. Esta ambigüedad surge porque se obtienen resultados diferentes dependiendo de si se elimina primero la raíz o se calcula primero la potencia:
Gracias al valor absoluto, se aclara que sólo se hace referencia la solución positiva, √ en vez de -√. Como anécdota, decir que obviar esto conduce a una demostración según la cual 2 + 2 = 5.
Esta otra trampa de simplificación es algo más sutil, partiendo del hecho que:
Es decir, el resultado no es x³, podemos caer en el siguiente error:
La no igualdad sólo se convertiría en igualdad para los casos x > 0. Ahora bien, si sí o sí es necesario sacar la x del numerador, esta simplificación también es correcta:
Y, efectivamente:
Por si habían dudas
Acerca de las fracciones nos enseñaron prácticamente todo, pero viéndolo desde la distancia, me parece que se pasó a la ligera por el hecho de que el cociente entre dos magnitudes expresa cuánto de la magnitud del numerador corresponde a cada unidad de la magnitud del denominador. Después, en el Bachillerato, esto aparece de forma masiva en asignaturas como Química y Física:
En el cotidiano acto de la compra tenían nuestros profesores un buen ejemplo, si por ejemplo un cartel anuncia que la malla de 6 Kg de naranjas cuesta 3’84€ y queremos saber cuánto cuesta el kilogramo, tendremos que poner el precio en el numerador y el peso en el denominador, pues deseamos conocer el precio en función del peso.
Aunque el ejemplo de la compra pueda parecer muy básico, el mismo concepto, la proporcionalidad, permite hallar la solución a problemas aparentemente más complejos, como el siguiente que nos servirá a modo de ejemplo. Tenemos un tramo de fibra óptica de 300 metros por el que se desplaza un haz de luz (línea negra), «rebotando» por reflexión total interna.
Esquema del tramo de fibra óptica
Si sólo sabemos el valor de ϴc como la luz no se desplaza en línea recta sino en zigzag, aparentemente no podemos calcular la distancia real que recorre la luz, pero gracias a la proporcionalidad directa y algo de trigonometría podemos encontrar solución.
El seno de un ángulo es el cateto opuesto entre la hipotenusa
Vemos que existe una proporcionalidad directa entre X y L, pues sen(ϴc) es una constante. Es decir, si en 300 metros caben n segmentos X, habrá el mismo número de segmentos L, n ∈ ℝ+. Como:
Si llamamos e a la distancia real recorrida por luz, sabemos que la siguiente igualdad, que nos permite calcular la distancia realmente recorrida en zigzag, es cierta:
En definitiva, creo que una mayor dedicación y rigurosidad en la exposición de los conceptos básicos nos hubiera ayudado a aposentar los cimientos de las matemáticas; una asignatura difícil, incluso para enseñarla.
Tanto Jhon von Neumann como Steve Wozniack hicieron el ejercicio de encontrar miles de decimales del número e, en el ENIAC (uno de los primeros ordenadores de propósito general) y en un Apple II, respectivamente. Si personas de tan elevado tamaño intelectual consideraron oportuno hacerlo, ¿quién soy yo para contrariarlos? Así que, salvando las distancias, me he decidido a hacerlo.
El método empleado han sido las series de Taylor. Para el mismo, se requiere calcular el factorial, la siguiente función recursiva lo calcula para el número recibido como parámetro:
function factorial(a) {
if (a === 0) {
return 1;
}else{
return a * factorial(a - 1);
}
}
El siguiente código Javascript calcula, a partir del polinomio de Taylor1 de grado 20 en torno al punto a=0, es decir, e1, unos cuantos decimales:
function factorial(a) {
if (a === 0) {
return 1;
}else{
return a * factorial(a - 1);
}
}
var e = 1;
for (i = 1; i <= 19; i++) {
e = e + 1/factorial(i);
}
console.log(e);
El lector puede copiar el código y ejecutarlo en el mismo navegador con el que está leyendo este artículo, presionando F12 y accediendo a la consola:
Decimales de e en Javascript por Taylor. Ejecutado en Firefox.
Por culpa del uso de la coma flotante que hace Javascript (ya incluido en el microprocesador), no podemos sacar más decimales, pues el resultado será redondeado al que vemos en la imagen. Para salvar este inconveniente, en PHP existe la librería BC Math, que nos permite trabajar con números de – casi – cualquier tamaño y precisión. Para que después digan que es un lenguaje de juguete… Éste es el código:
<?php
function factorial($a) {
if ($a === 0) {
return 1;
}else{
return bcmul($a, factorial($a - 1), 3000);
}
}
$e = '2';
for ($i = 2; $i <= 1000; $i++) {
$e = bcadd($e, bcdiv('1', factorial($i), 3000), 3000);
}
echo ($e);
Con el que se obtienen 2572 dígitos correctos:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259
Aquí está el link que ejecuta este código:
https://www.victoriglesias.net/e.php
Al seguir el link, el lector con interés en el tema descubrirá que proporciona más decimales, pero, como dije, sólo los primeros 2572 son correctos. Supongamos que sabemos que e está por debajo de 3, pero no podemos concretar más, el error, por el residuo del teorema de Taylor, sería 3/(i + 1)!, es decir:
+-0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000744805637342692...
Por cierto, no por acotar mejor e, por ejemplo 2’8, dejaríamos de obtener menos posiciones a 0 hasta obtener los primeros decimales del error. 2’8/(i + 1)! es:
+-0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000695151928186513...
Por lo tanto, aunque acotemos con más precisión e, la fórmula del residuo nos sigue asegurando que hemos calculado correctamente la misma cantidad de decimales.
Si parecen insuficientes y se desea mayor precisión, bastará con incrementar el tope de la variable i del bucle a más de 1000. Eso sí, si nos tomamos este cálculo en serio, sería aconsejable optimizar previamente la función recursiva.
En definitiva, aunque me quedé muy lejos del récord mundial ;-), fue entretenido hacerlo y espero que al lector le parezca interesante también o, por lo menos, curioso.
1 Se llama serie de Maclaurin el caso concreto de Taylor a=0
Normalmente denominamos «neperiano» al logaritmo de base e, pero viendo un vídeo en inglés escuché que se referían al mismo como «natural», entonces me puse a indagar cual de las dos formas es correcta. El resultado fue que «natural» sería más correcto, pero entonces, ¿por qué lo llamamos neperiano? Voy a explicar en esta breve entrada lo que averigüé.
Leyenda de mi libro (I de II) de matemáticas de 3º de BUP
John Napier, un matemático escocés que vivió entre 1550 y 1617, fue el primero en definir los logaritmos. Su trabajo, como era lo usual en la época, lo publicó en latín, y fue otro matemático quien, tiempo después, traduciría la obra al inglés. En una de las ediciones, se incluyó un apéndice con una tabla de logaritmos, y en la misma aparecen algunos valores que se obtienen usando la base 2.718, pero sin hacer ninguna mención en especial a la misma. Esta base, por cierto, no aparece en la obra original de Napier.
Las largas noches de invierno en el norte de Europa dan para mucho.
No obstante, en aquel entonces, el número e todavía no había sido formalmente definido. Probablemente, el autor de esta tabla, que se cree que fue William Oughtred, tuvo nociones acerca de e, al igual que otros matemáticos de la época, pero al descubrimiento y su formalización todavía le faltaba entorno a un siglo. En todo caso, si bien a John Napier se le reconoce el mérito del logaritmo como su gran aportación a las matemáticas, no sería justo otorgarle el mérito de uno de los números más importantes.
En definitiva, parece que los anglosajones están más acertados que nosotros a la hora de llamar «natural» al logaritmo en base e y que somos nosotros quienes andamos algo equivocados al otorgarle a John Napier más méritos de los que le corresponden.
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